Er is geen betekenisverschil.

beklag doen

een klacht indienen
De vrouw wilde alleen haar beklag doen omdat zij het niet eens was met de bekeuring.

beklag maken
een klacht indienen
Vandaag gaat mijn Belgische collega beklag maken over de arbitrage.

Zijn beklag doen komt veel meer voor, en sommigen zien in zijn beklag maken een anglicisme (to make a complaint). Maar in Vlaanderen is zijn beklag maken heel gebruikelijk.